둥근 지구를 펼치면 무엇이 달라질까

넓이를 비교할 때 먼저 의심할 부분

메르카토르 투영에서는 고위도로 갈수록 면적이 크게 보인다. Esri의 공식 투영 문서 (새 창)는 그린란드와 남아메리카의 화면상 크기를 실제 면적 비교로 읽으면 잘못된 판단이 생길 수 있다고 설명한다. 해안선이 또렷하다는 사실은 화면에서 잰 넓이까지 정확하다는 뜻이 아니다.

이 차이는 구를 펼치는 기하학에서 시작된다. 구에서 같은 경도 간격으로 두 선을 그리면, 적도에서는 그 사이가 넓고 극지방으로 갈수록 좁아진다. 극에서는 자오선들이 한 점에 모인다. 그런데 메르카토르 지도에서는 자오선을 일정한 간격의 평행한 직선으로 그린다. 실제로 좁아지는 간격을 화면에서는 그대로 두므로 동서 방향의 배율이 커진다.

국지적인 각도를 보존하려면 남북 방향도 그 배율에 맞춰 늘려야 한다. 그래서 적도에서 멀어질수록 위도선 사이의 간격까지 벌어진다. 구 모형에 적도를 기준으로 적용하면 선 길이의 국지적인 배율은 1 ÷ cos(위도)다. 위도 60도에서 코사인 값은 0.5이므로 길이 배율은 2, 작은 면적의 배율은 두 방향을 곱한 4가 된다. 이 계산은 큰 나라 전체가 정확히 네 배라는 말이 아니다. 같은 위도 부근의 아주 작은 부분을 비교한 값이다.

좁은 지역에서 잘 유지되는 성질을 큰 대륙으로 넓혀 읽는 순간 오류가 생긴다. 메르카토르는 국지적인 각도와 형태를 보존하는 정각 투영이다. 넓게 걸친 국가의 전체 윤곽과 면적을 모두 실제대로 보존한다는 뜻으로 정각이라는 말을 읽어서는 안 된다. 극은 무한히 멀어지는 형태로 계산되므로 이 투영에서 온전하게 나타낼 수도 없다.

처음 질문으로 돌아오면 필요한 도구가 달라진다. 나라의 넓이를 비교하려는 경우에는 정확한 면적 수치나 면적 비율을 보존하는 지도가 필요하다. 해안선의 익숙함은 그 목적에 대한 검증을 대신하지 못한다. 잘못된 비교를 바로잡는 첫 행동은 지도에 그려진 땅을 탓하는 것이 아니라, 화면의 넓이가 무엇을 의미하는지 확인하는 것이다.

항해자에게는 직선의 의미가 달랐다

그렇다면 면적을 크게 왜곡하는 지도를 왜 쓰게 되었을까. 메르카토르 투영에서는 진북을 기준으로 일정한 방위각을 유지하는 항정선을 직선으로 나타낼 수 있다. 배가 같은 방위를 따라 나아갈 경로를 도표에서 다루기 편해진다. Esri의 항정선 정의 (새 창)는 이 방위의 기준과 메르카토르에서의 직선 표현을 함께 설명한다. 면적 비교에서 불리한 지도가 다른 질문에는 쓸모 있는 답을 준다.

그 직선도 지구에서 두 지점을 잇는 최단 경로와 항상 같은 것은 아니다. 구의 표면에서 최단 경로는 대원을 따르지만 진북을 기준으로 방위각이 일정한 경로는 일반적으로 그렇지 않다. 지도 위의 곧은 선이 무슨 뜻인지 알아야 실제 이동을 해석할 수 있다. 손으로 긋기 쉬운 선과 연료나 거리를 가장 적게 쓰는 경로를 같은 것으로 취급하면 용도가 바뀐다.

하나의 가상 작업으로 차이를 생각해보자. 한 팀은 국가별 산림 면적을 비교하려 하고, 다른 팀은 일정한 방위를 따른 항로를 표시하려 한다. 두 팀이 같은 지도 한 장을 골라야 한다는 이유는 없다. 첫 팀에는 면적의 비율이, 둘째 팀에는 방향을 읽는 성질이 우선이다. 지도 이름을 알고 있다는 것보다 그 작업에 필요한 성질을 설명할 수 있다는 편이 유용하다.

또한 일반적인 메르카토르 투영과 온라인에서 자주 쓰는 Web Mercator를 무조건 같은 것으로 묶어서는 안 된다. Web Mercator는 지구 좌표와 구 기반의 계산을 결합하는 구현상의 조건이 있다. 공식 문서는 타원체 기준에서 정확한 정각 성질도 그대로 유지되지 않는다고 설명한다. 휴대전화 화면에 익숙한 지도가 모든 정밀 측량이나 전 세계 면적 비교에 적합한 것은 아니다.

면적을 지키면 윤곽과 경계를 다시 골라야 한다

NASA GISS의 투영 목록 (새 창)은 메르카토르를 정각 투영으로, 몰바이데를 등적 투영으로 분류한다. 등적 투영은 지표의 면적 비율을 보존한다. 그 대신 지역의 모양과 각도 등이 달라질 수 있다. 정확한 지도가 따로 하나 있고 나머지가 그 실패한 복사본인 듯 생각하면 이런 선택을 이해하기 어렵다.

둥근 공의 표면을 잘라 늘림 없이 평평하게 붙이는 모습을 상상해보면 문제가 드러난다. 종이가 아닌 구의 곡면에는 평면과 다른 기하학이 있다. 넓은 범위에서 거리와 각도와 면적을 모두 원래대로 유지한 채 한 장으로 펼칠 수는 없다. 지도 투영은 어떤 왜곡을 줄이고 어떤 왜곡을 받아들일지 정하는 규칙이다. 이는 구를 평면으로 표현할 때 생기는 제약이며 특정 제작자의 실수에만 해당하지 않는다.

이때 등적이라는 이름도 만능 정확도를 의미하지 않는다. 지도에서 A지역이 B지역의 두 배 면적으로 그려졌다면 그 비율은 읽을 수 있다. 그러나 그 지도에서 자로 잰 두 도시의 거리를 아무 방향에서나 같은 축척으로 환산할 수 있다는 뜻은 아니다. 보존하는 양을 명시하지 않은 채 정확하다고만 말하면 독자는 지켜지지 않은 성질까지 기대하게 된다.

지도의 바깥 모양과 잘라 놓은 경계도 선택이다. 태평양을 중심에 두면 대양 주변의 연결이 눈에 들어오고, 다른 중심을 쓰면 태평양 양쪽의 땅이 화면 끝으로 나뉠 수 있다. 화면 가장자리에서 멀리 떨어진 두 지역이 실제 지구에서는 가까울 수 있다. 같은 바다를 가운데 놓거나 둘로 잘라 놓는 차이는 독자가 어떤 연결을 먼저 보게 되는지 바꿀 수 있다.

기준선의 선택에도 역사가 있다. 그리니치 박물관의 본초자오선 자료 (새 창)는 서로 다른 영점 자오선을 사용했던 지도와 공동 기준의 채택을 설명한다. 중심과 영점, 투영은 서로 관련되어 있지만 같은 설정이 아니다. 경도 0도를 정한 뒤에도 지도의 중심과 표현 규칙은 여러 방식으로 고를 수 있다.

지도 가장자리에서 이어지는 바다

더 정밀한 작업에서는 지구 모형과 좌표 기준도 보아야 한다. NOAA (새 창)는 실제 지구가 단순한 구보다 타원체에 가깝고, 지형과 중력장까지 고려하면 더 복잡하다고 설명한다. 앞서 위도 60도의 배율을 계산할 때 사용한 구는 원리를 드러내기 위한 근사다. 그 계산을 지적 경계나 정밀 측량의 판정으로 가져갈 수는 없다.

그림자로 지구를 재는 이야기에서 얻은 것은 둥근 세계의 크기였다. 그 세계를 한 장에 담으려면 이어진 표면 어딘가를 나누어야 한다. 태평양 중간을 잘라 만든 세계지도에서는 화면의 양 끝이 같은 대양의 두 부분이다. 양 끝을 서로 이어 붙인다고 생각하면, 종이 위에서 먼 곳에 놓인 지역들이 어떻게 하나의 바다를 둘러싸는지 다시 보인다.

면적을 보존해도 이 이음매는 남고, 각도를 보존해도 세계를 한 장에 담는 선택은 남는다. 지구본은 돌려서 뒷면을 볼 수 있지만 종이 지도는 펼친 자리에서 많은 장소를 한꺼번에 보여준다. 그 편리함을 얻는 동안 늘어난 땅과 휘어진 윤곽, 화면 끝으로 갈라진 바다가 함께 생긴다. 지도의 가장자리는 세계가 끝나는 곳이 아니라 펼치는 작업이 드러나는 곳이다.